pengantar kalkulus

PENGANTAR KALKULUS PERUBAH BANYAK
ERIDANI



1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar
Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang
dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah, kurang, kali, dan bagi), dan penger-
tian urutan. Pada dasarnya, R2
:= f(x; y) : x; y 2 Rg dapat didefinisikan (selain sebagai
himpunan semua titik pada bidang datar) sebagai kumpulan semua vektor dengan titik
awal pusat koordinat O := (0; 0); dan titik akhir (x; y):
Misalkan A := (x1; y1) 2 R2
; maka A dapat juga dituliskan dalam bentuk
¡! OA; atau ¡! a
saja. Jika B := (x2; y2); maka kita definisikan vektor lokasi
¡! AB dengan
¡! AB := ¡! b ¡ ¡! a :
Dengan demikian,
¡! AB = (x2 ¡ x1; y2 ¡ y1): Jelas bahwa A dan B adalah titik awal, dan
titik akhir dari
¡! AB:
(1) Misalkan k¡! a k2 menyatakan panjang vektor
¡! a : Dengan menggunakan rumus
Phytagoras, buktikan bahwa k¡! a k2 = (x2
1 + y2
1)1=2
; dan
k¡! a k2 = 0 () ¡! a = O:
Jika didefinisikan, untuk setiap k 2 R; k¡! a := (kx1; ky1); hitunglah kk¡! a k2:
Berikan interpretasi geometris untuk k¡! a : Berikan definisi tentang dua vektor
yang sejajar.
(2) Jika ® := \(
¡! a ;
¡! b ); dan ¡! a ¢
¡! b := x1x2+y1y2 (yang kita definisikan sebagai hasil
kali titik antara ¡! a dan
¡! b ), buktikan berturut-turut, bahwa
k¡! a ¡ ¡! b k2
2 = k¡! a k2
2 + k
¡! b k2
2 ¡ 2 k¡! a k2k
¡! b k2 cos ®;
dan
cos ® =
¡! a ¢
¡! b
k
¡! b k2k
¡! b k2
:
Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Kampus C Mulyorejo,
Surabaya 60115. Alamat e-mail: eri.campanato@gmail.com.
12 ERIDANI
Tunjukkan pula bahwa ¡! a ¢
¡! a = k¡! a k2
2; dan ¡! a ¢ (
¡! b + ¡! c ) = ¡! a ¢
¡! b + ¡! a ¢
¡! c :
(3) Jika ® := \(
¡! a ;
¡! b ); buktikan bahwa
® = 90±
() k¡! a + ¡! b k2
2 = k¡! a k2
2 + k
¡! b k2
2 () k¡! a + ¡! b k2 = k¡! a ¡ ¡! b k2:
Catatan: Soal ini bercerita tentang Teorema Phytagoras yang disajikan dalam
bahasa vektor. Jika ¡! a dan
¡! b memenuhi kondisi di atas, maka kita katakan
bahwa ¡! a tegak lurus terhadap
¡! b ; yang kita notasikan dengan ¡! a ? ¡! b :
(4) Untuk sebarang ¡! a dan
¡! b ; buktikan bahwa
j
¡! a ¢
¡! b j · k¡! a k2k
¡! b k2; dan k¡! a + ¡! b k2 · k¡! a k2 + k
¡! b k2:
Catatan: Ketaksamaan yang terakhir merupakan ketaksamaan segitiga yang dis-
ajikan dalam bahasa vektor.
(5) Misalkan ¡! c = k
¡! b ; untuk suatu k 2 R: Jika k¡! a k2
2 = k¡! c k2
2 +k¡! a ¡¡! c k2
2; carilah
nilai k: Konstruksikan posisi vektor-vektor yang menggambarkan soal tersebut.
Catatan: Soal ini bercerita tentang proyeksi
¡! a sepanjang
¡! b : Nilai k didefinisikan
sebagai komponen dari
¡! a sepanjang
¡! b :
2. Pengertian Vektor pada Ruang Dimensi Tinggi
Dari penjelasan sebelumnya, jelas bahwa R2
dapat dipandang sebagai sekumpulan
himpunan yang memuat vektor-vektor dengan dilengkapi operasi-operasi jumlahan dan
perkalian skalar.
Lebih tepatnya, R2
merupakan salah satu contoh ruang vektor atas lapangan bilangan
real R:
Misalkan N menyatakan himpunan bilangan alam dan n 2 N: Kita definisikan Rn
sebagai
Rn :=
½
(x1; x2; : : : ; xn) : x1; : : : ; xn 2 R
¾
:
Semua unsur Rn akan sebut sebagai vektor. Jelas bahwa on := (0; 0; : : : ; 0) merupakan
salah satu unsur Rn: Dalam Rn kita definisikan operasi jumlahan dan perkalian skalar
sebagai berikut.KALKULUS PEUBAH BANYAK 3
Misalkan x := (xk)n
k=1; y := (yk)n
k=1 2 Rn; dan ® 2 R: Kita definisikan
x + y := (xk + yk)
n
k=1;
dan
® ¢ x := (®xk)
n
k=1:
Dengan menggunakan pengetahuan dalam Aljabar Linier Elementer, kita tahu bahwa
(Rn;+; ¢) memiliki struktur yang serupa dengan (R;+; ¢):
(1) Misalkan kxkn menyatakan norma vektor x; yang didefinisikan sebagai
kxkn =
µ n X
k=1
x2
k
¶1=2
:
Buktikan bahwa
kxkn = 0 () x = on:
Jika k 2 R; hitunglah kkxkn:
(2) Misalkan diberikan x1; y1; x2; y2; : : : ; xn; yn: Buktikan
n X
k=1
jxkykj ·
µ n X
k=1
x2
k
¶1=2µ n X
k=1
y2
k
¶1=2
:
Catatan: Soal ini bercerita tentang Ketaksamaan Cauchy-Schwarz yang dapat
dibuktikan menggunakan pengertian tentang persamaan kuadrat yang bersifat
definit positif atau definit negatif.
(3) Misalkan t 2 R: Jika didefinisikan
F(t) := kx ¡ tyk2
n;
Carilah nilai minimum F:
(4) Jika didefinisikan kali titik antara x dan y; sebagai
x ¢ y :=
n X
k=1
xkyk;
tuliskan ketaksamaan Cauchy-Schwarz menggunakan notasi hasil kali titik.
(5) Tentukan syarat perlu dan cukup agar berlaku
kx ¡ yk2
n = kxk2
n + kyk2
n:4 ERIDANI
3. Garis pada Bidang dan Ruang
Pertama-tama, akan kita bicarakan terlebih dahulu tentang konsep garis lurus pada
bidang datar. Misalkan A terletak pada garis lurus `; dan ` terletak pada suatu bidang
datar. Jika vektor
¡! b sejajar dengan garis `; maka sebarang titik C pada ` dapat dis-
ajikan dalam bentuk ¡! a + t0
¡! b ; untuk suatu t0 2 R: Dengan kata lain, terdapat t0 2 R
sedemikian hingga ¡! c = ¡! a + t0
¡! b : Di sini dikatakan bahwa
¡! b merupakan vektor arah
garis `: Cukup jelas bahwa
` := f¡! a + t
¡! b : t 2 Rg;
dan X(t) := ¡! a +t
¡! b = (x1 +t x2; y1 +t y2) menyatakan posisi titik pada ` untuk setiap
t 2 R: Kadangkala X(t) juga disebut sebagai persamaan parametrik suatu garis lurus.
(1) Tuliskan semua persamaan garis yang anda ketahui dalam Geometri Analitik
dalam bentuk persamaan parametrik X(t).
(2) Misalkan X1(t); dan X2(t) menyatakan dua buah garis di bidang. Tentukan syarat
agar kedua garis tersebut, berturut-turut, berpotongan, sejajar, atau identik.
(3) Tentukan syarat agar X1(t) dan X2(t) saling tegak lurus.Jika ® := \(X1;X2):
Hitunglah tan ®:
(4) Dengan menggunakan fakta bahwa semua garis memiliki sifat yang sama, baik
terletak pada bidang, maupun di ruang, tentukan persamaan parametrik garis di
ruang, jika garis tersebut melalui titik A; dan memiliki vektor arah
¡! b :
(5) Ulangi proses di atas untuk menggali sifat-sifat penting garis di ruang.
(6) Garis X1(t); dan X2(t) dikatakan bersilangan, atau skew, jika X1(t) dan X2(t)
tidak berpotongan maupun sejajar. Tentukan syarat agar sebarang dua garis
bersilangan.
4. Konsep Bidang datar pada Ruang
Sebarang bidang datar dikarakterisasi oleh suatu vektor yang tegak lurus dengan
bidang tersebut dan satu titik tertentu yang dilalui bidang tersebut.KALKULUS PEUBAH BANYAK 5
(1) Misalkan A terletak pada bidang datar P: Jika
¡¡! AD tegak lurus bidang P; dan X
adalah sebarang titik pada P; tentukan persamaan bidang dalam notasi vektor.
Catatan: Vektor
¡¡! AD disebut vektor normal atau normal dari bidang P:
(2) Misalkan bidang P mempunyai persamaan parametrik Y (t): Tentukan Y (t), jika
bidang tersebut memuat titik A dan garis X(t):
(3) Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik yang diketahui.
(4) Misalkan X1(t) dan X2(t) garis-garis yang berpotongan atau sejajar. Tentukan
persamaan bidang yang melalui kedua garis tersebut.
(5) ermenyatakan suatu bidang datar yang posisi titik pada suatu garis di ruang.
Tentukan persamaan untuk X(t); jika X(t) melalui titik A dan memiliki vektor
arah
¡! b :
(6) Jika garis `1 mempunyai gradien m; dan melalui satu titik tertentu, tuliskan
persamaan garis tersebut dalam notasi vektor.
(7) Jika X(t) menyatakan suatu persamaan garis, tentukan persamaan garis yang
tegak lurus dengan X(t):
(8) Misalkan X1(t); dan X2(t) berturut-turut menyatakan dua buah garis lurus, dan
® := \(X1;X2): Hitunglah tan ®:
5. Kurva di Bidang
Pada dasarnya, suatu grafik di bidang dapat dipandang sebagai suatu lintasan benda
yang bergerak pada bidang datar.
Misalkan diberikan fungsi-fungsi f : [a; b] ¡! R; dan g : [a; b] ¡! R:
Suatu kurva K (di bidang) didefinisikan sebagai himpunan
K :=
½
(x; y) : x = f(t); y = g(t); t 2 [a; b]
¾
:
N Seekor semut yang bergerak sepanjang lingkaran x2
+ y2
= 1, dari (1; 0) menuju
(¡1; 0) dengan waktu tempuh 2 satuan waktu, dapat diwakili oleh kurva
½
(x; y) : x = cos
1
2
¼t; y = sin
1
2
¼t; t 2 [0; 2]
¾
:6 ERIDANI
Sedangkan kurva ½
(x; y) : x = ¡cos ¼t; y = sin ¼t; t 2 [0; 1]
¾
menyatakan pergerakan semut pada lintasan yang sama tetapi dengan arah berlawanan,
dan waktu tempuh yang lebih cepat.
N
Misalkan suatu benda sedang bergerak sepanjang sumbu-x dari a ke b terhadap gaya
peubah sebesar F(x) di titik x:
Kerja yang dilakukan untuk menggerakkan benda dari a ke b diberikan oleh
Z b
a
F(t) dt:
NTentukan besar kerja yang dilakukan seekor semut yang bergerak sepanjang lintasan
kurva ½
(x; y) : x = cos
1
2
¼t; y = sin
1
2
¼t; t 2 [0; 2]
¾
:
atau ½
(x; y) : x = ¡cos ¼t; y = sin ¼t; t 2 [0; 1]
¾
:
Apa yang terjadi jika semut tersebut semakin cepat bergerak?
N
Departemen Matematika, Universitas Airlangga, Kampus C, Mulyorejo, Surabaya
60115, Indonesia
E-mail address: eri:campanato@gmail:com